배열 3차원 이상 곱셈

데이터 프레임워크를 사용하다보면 곱셈시 배열 차원(shape)이 매번 헷깔린다. 그래서 정리를 해보았다.

 

01. 2차원 곱셈

일단 기본 numpy 행렬곱으로 shape 특성을 이해해본다. 아래 예시에서 확인할 수 있듯이, 2차원의 행렬에서 shape은 (행, 열)을 의미한다. 이 상태에서는 크게 어려울 것이 없다.

import numpy as np

a = np.array([[1, 0],
              [0, 1],
              [1, 1]])
print(a.shape) 
# (3, 2)

b = np.array([[4, 1],
              [2, 2]])
print(b.shape) 
# (2, 2)

np.matmul(a, b)
#array([[4, 1],
#       [2, 2],
#       [6, 3]])

 

02. 3차원 이상 곱셈

여기서부터 매번 헷깔리기 시작한다. 하지만, 데이터분석 framework 상에서 계산들은 기본적으로 2차원 연산을 상위 차원에서 반복한다. 다음 코드를 보면 각각의 3차원 내에서 2x2 곱셈을 진행한다. 그러므로 행렬곱의 결과 차원은 (2, 3, 3)이 된다.

a = np.arange(24).reshape(2,3,4)
a
#array([[[ 0,  1,  2,  3],
#        [ 4,  5,  6,  7],
#        [ 8,  9, 10, 11]],
#
#       [[12, 13, 14, 15],
#        [16, 17, 18, 19],
#        [20, 21, 22, 23]]])

b = np.arange(24).reshape(2,4,3)
b
#array([[[ 0,  1,  2],
#        [ 3,  4,  5],
#        [ 6,  7,  8],
#        [ 9, 10, 11]],
#
#       [[12, 13, 14],
#        [15, 16, 17],
#        [18, 19, 20],
#        [21, 22, 23]]])

np.matmul(a,b)
#array([[[  42,   48,   54],
#        [ 114,  136,  158],
#        [ 186,  224,  262]],
#
#       [[ 906,  960, 1014],
#        [1170, 1240, 1310],
#        [1434, 1520, 1606]]])

np.matmul(a,b).shape
# (2, 3, 3)

 

03. 이론적인 3차원 곱셈

이론적인 3차원 곱셈은 그 방법론만 소개한다. height, widht, length차원을 각각 d1, d2 d3로 정의하면,

 

• outer prod: (d1, d3), (d3, d2), (d2, d1)
• inner prod: (d3, d1), (d2, d3), (d1, d2)

위와 같은 결과를 만들어 낸다고 한다.

그러므로 shape(1, 1, 2) 행렬과 shape(1, 2, 1) 행렬의 곱셈 결과는 shape(1, 2, 2)가 된다.